Considérons l'application \(\varphi:{\Bbb R}_n[X]\to{\Bbb R}\) définie par : $$\varphi(P)=\int^1_0P(t)\,dt$$
Préciser \(\operatorname{Im}\varphi\) et une base de \(\ker\varphi\)
Calcul de l'intégrale
Si \(P(x)=\sum^n_{i=0}a_ix^i\), alors $$\int^1_0P(x)\,dx=\sum^n_{i=0}a_i\int^1_0x^i\,dx=\sum^n_{i=0}\frac{a_i}{i+1}$$
\(\operatorname{Im}\varphi\) en prenant des polynômes simples
\(\operatorname{Im}\varphi={\Bbb R}\) car pour \(P=a_0\in{\Bbb R}\), on a \(\varphi(P)=a_0\in{\Bbb R}\)
Dimension du noyau via le théorème du rang
\(\operatorname{dim}\operatorname{Im}\varphi=1\), donc \(\operatorname{dim}\ker\varphi=n\) d'après le théorème du rang
On pose \(P_i(x)=x^i-\frac1{i+1}\in\ker\varphi\) $$P_i=\left(-\frac1{i+1},0,\ldots,0,\underbrace{1}_i,0,\ldots,0\right)$$
Le système \(\{P_i\}^n_{i=1}\) est libre car on peut montrer que \(\sum^n_{i=1}\lambda_iP_i=0\iff-\sum^n_{i=1}\frac1{i+1}\lambda_i+\sum^n_{i=1}\lambda_it^i\) si et seulement si les \(\lambda_i\) sont nuls
(Théorème du rang)